Mida joonis näitab?
Ühikringjoon on ringjoon, mille keskpunkt on koordinaatide alguspunktis \(O\) ja raadius on 1. Nurka \(\alpha\) mõõdetakse \(x\)-telje positiivsest suunast vastupäeva. Nurga haar lõikab ringjoont punktis \(P\).
Punkti \(P\) koordinaadid ongi nurga koosinus ja siinus:
\[ P(\cos\alpha;\ \sin\alpha) \]- raadiuse \(OP\) projektsioon \(x\)-teljele on \(\cos\alpha\);
- raadiuse \(OP\) projektsioon \(y\)-teljele on \(\sin\alpha\).
Lohista punkti \(P\) või kasuta liugurit.
Seos täisnurkse kolmnurgaga
Teravnurga korral tekib täisnurkne kolmnurk, mille hüpotenuus on raadius pikkusega 1. Seega \[ \cos\alpha = \frac{\text{lähiskaatet}}{\text{hüpotenuus}} = \frac{x}{1} = x, \qquad \sin\alpha = \frac{\text{vastaskaatet}}{\text{hüpotenuus}} = \frac{y}{1} = y. \] Ühikringjoon laiendab selle definitsiooni kõigile nurkadele, ka nürinurkadele ja nurkadele üle 180°. Pythagorase teoreemist saame trigonomeetria põhiseose: \[ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1. \]
Märgid veerandites
| Veerand | Nurk | \(\cos\alpha\) | \(\sin\alpha\) |
|---|---|---|---|
| I | 0°…90° | + | + |
| II | 90°…180° | − | + |
| III | 180°…270° | − | − |
| IV | 270°…360° | + | − |
Proovi
- Lülita sisse „Hüppa 15° kaupa“ ja leia nurgad, mille korral \(\sin\alpha = \cos\alpha\).
- Võrdle \(\sin 30^\circ\) ja \(\sin 150^\circ\). Miks on need võrdsed?
- Millise nurga korral on \(\cos\alpha\) suurim ja millise korral vähim?
- Vaata alumist graafikut: punane lõik graafikul on täpselt sama pikk kui punane lõik ringjoonel ja sinine lõik sama pikk kui sinine.