Keri hiirerattaga üles-alla ja Shift+rattaga paremale-vasakule (või lohista joonist). Ctrl+ratas suurendab ja vähendab. Klõpsa arvul, et näha selle jagajaid ja kordseid. Shift+klõps teistel arvudel näitab valitud arvude suurimat ühistegurit ja vähimat ühiskordset.
Kuidas joonis on üles ehitatud?
Rida näitab, mitmest algtegurist arv koosneb, kui kordused kaasa arvata:
- kõige all on 1 – tal pole ühtegi algtegurit;
- teises reas on algarvud 2, 3, 5, 7, 11, …;
- kolmandas reas on kahe algteguri korrutised, nt \(6 = 2 \cdot 3\) ja \(9 = 3 \cdot 3\);
- \(12 = 2 \cdot 2 \cdot 3\) on neljandas reas, sest tal on kolm algtegurit.
Keskel ülespoole on 1, 2, 4, 8, 16, … Paaritud algarvud on kordamööda paremal (3, 7, 13, …) ja vasakul (5, 11, 17, …). Iga teine arv on samal pool kui tema suurim algtegur: \(6 = 2 \cdot 3\) on paremal, \(10 = 2 \cdot 5\) vasakul. Mida kaugemal keskelt, seda suurem arv.
Mida tähendavad lõigud?
Lõik ühendab arvud \(a\) ja \(b\), kui \(b = a \cdot p\), kus \(p\) on algarv. Lõigu värv näitab, millise algarvuga korrutati. Iga lõik viib täpselt ühe rea võrra ülespoole.
Kui arvust \(a\) pääseb mööda lõike ainult ülespoole liikudes arvuni \(b\), siis \(b\) jagub \(a\)-ga. Näiteks \(3 \to 6 \to 12\), seega \(12\) jagub \(3\)-ga. Kuna 1 on kõige all ja kõik teed algavad sealt, jagub iga arv 1-ga. Sellist joonist nimetatakse Hasse diagrammiks.
Suurim ühistegur ja vähim ühiskordne
Klõpsa joonisel arvul \(a\) ja siis Shift all hoides arvul \(b\) (soovi korral ka kolmandal, neljandal …). Joonis näitab lõike, mis viivad valitud arvudest alla SÜT-ini ja üles VÜK-ini. Tavaline klõps alustab otsast.
- Suurim ühistegur \(\text{SÜT}(a;\ b)\) on suurim arv, millega jaguvad nii \(a\) kui ka \(b\). See on kõige kõrgem arv, kust pääseb mööda lõike ülespoole liikudes nii \(a\)-ni kui ka \(b\)-ni. Rohelised lõigud viivad \(a\)-st ja \(b\)-st alla SÜT-ini.
- Vähim ühiskordne \(\text{VÜK}(a;\ b)\) on vähim arv, mis jagub nii \(a\)-ga kui ka \(b\)-ga. See on kõige madalam arv, kuhu pääseb ülespoole liikudes nii \(a\)-st kui ka \(b\)-st. Oranžid lõigud viivad \(a\)-st ja \(b\)-st üles VÜK-ini.
Algtegurite abil: SÜT saamiseks võta iga algteguri väikseim astendaja, VÜK saamiseks suurim:
\[ 12 = 2^2 \cdot 3, \quad 18 = 2 \cdot 3^2 \quad\Rightarrow\quad \text{SÜT} = 2^1 \cdot 3^1 = 6, \quad \text{VÜK} = 2^2 \cdot 3^2 = 36. \]Kahe arvu korral kehtib alati \(\text{SÜT}(a;\ b) \cdot \text{VÜK}(a;\ b) = a \cdot b\).
Proovi
- Klõpsa arvul 12. Kui palju on tal jagajaid? Kas leiad kõik teed arvust 1 arvuni 12?
- Klõpsa arvul 30. Mis kujundi moodustavad tema jagajad? (Vihje: \(30 = 2 \cdot 3 \cdot 5\).)
- Jäta sisse ainult lõigud „· 2“. Mis arvud moodustavad pika ahela, mis algab arvust 1?
- Mis on väikseim arv viiendas reas? Aga kuuendas? Mida märkad?
- Miks algarvu kohalt läheb alla ainult üks lõik?
- Mitu jagajat on arvudel 60, 72 ja 96? Millistel arvudel on neid eriti palju?
- Miks jõuab keskmisest veerust kõrgemale kui ülejäänud veergudest?
- SÜT ja VÜK: võrdle paare 12 ja 18, 8 ja 15, 6 ja 24. Millal on SÜT = 1? Millal on VÜK üks arvudest endist?
- Vali 8 ja 15. Mitu erinevat teed viib 15-st üles VÜK-ini? Miks just nii palju?
- Vali kolm arvu: 12, 18 ja 30. Leia SÜT ja VÜK. Kas SÜT · VÜK võrdub nüüd kõigi kolme arvu korrutisega?